Geoid und Festlegung eines Refenzellipsoids

Die Frage nach der Form der Erde ist die Frage nach einem mathematischen Modell für die Gestalt. Unter Gestalt ist dabei auch nicht die Grenzfläche zwischen Wasser und Erde einerseits und der Luft andererseit zu verstehen, da diese Grenzfläche so unregelmäßig geformt ist, daß sie sich (derzeit) einer mathematischen Modellierung entzieht. Gauß im Jahre 1828 zur Gestalt der Erde [Bauer,1997]:
"Was wir im geometrischen Sinn Oberfläche der Erde nennen, ist nichts anderes als diejenige Fläche, welche überall die Richtung der Schwere senkrecht schneidet, und von der die Oberfläche des Meeres einen Teil ausmacht. Die Richtung der Schwere an jedem Punkt wird aber durch die Gestalt des festen Teils der Erde und seine ungleiche Dichtigkeit bestimmt und an der äußeren Rinde der Erde, von der allein wir etwas wissen, zeigt sich diese Gestalt und Dichtigkeit als höchst unregelmäßig; die Unregelmäßigkeit der Dichtigkeit mag sich leicht noch ziemlich tief unter die äußere Rinde erstrecken und entzient sich ganz unseren Berechnungen, zu welchen fast alle Daten fehlen. Die geometrische Oberfläche ist das Produkt der Gesamtwirkung dieser ungleich verteilten Elemente und anstatt vorkommende unzweideutige Beweise der Unregelmäßigkeit befremdend zu finden, scheint es eher zu bewundern, daß sie nicht noch größer ist."
Der erste, rot hervorgehobene Teil der Gaußschen Aussage mag als Definition der Gestalt der Erde dienen. Anzumerken bleibt, daß auch die Verteilung des Wassers auf der Erde, selbst ein Ergebnis des Gravitationsfeldes, einen Beitrag zu diesem Feld leistet. Zur Motivation der Definition sei daran erinnert, daß mittels Libellen die Ausrichtung der Stehachse der Vermessungsinstrumente parallel zum Schwerefeld und damit lokal orthogonal zur Niveaufläche erfolgt.
J.B. Listing prägte 1872 für die o.g. Niveaufläche den Namen Geoid. Ohne in die Details einer modernen mathematischen Formulierung des Problems, eine solche Fläche zu finden, einzudringen, muß festgestellt werden, es selbst unter stark vereinfachenden Annahmen zu einer Klasse äußerst schwierig zu behandelnder Probleme der mathematischen Analysis gehört und bisher nicht gelöst wurde. Da die Abweichungen zwischen dem Geoid und geeignet gewählten Ellipsoiden gering sind und bei Bedarf in Rechnungen beachtet werden kann, ist das Ellipsoid als Modell für die Gestalt der Erde gerechtfertigt und auch in praktischen Vermessungsfragen zu nutzen. Als Beispiel sei hier das Referenzellipsoid WGS-84 genannt, Hier weicht das Geoid um +70/-100m ab. Das Geoid wird auch vielfach durch ein Höhenfeld über einem Referenzellipsoid näherungsweise beschrieben.

• Die geometrische Methode:
  Sie beruht auf lokalen Messungen der Lotabweichungen und Variation der Lageparameter (Mittelpunkt und Richtung der kleinen Halbachse) sowie der Größe und Gestalt der Ellipse mit dem Ziel, die Geoidundulation zu minimieren. Als Resultat ergibt sich ein lokal bestanschließendes Ellipsoid. Seine kleine Halbachse verläuft etwa parallel zur Drehachse der Erde. Die heute in der Landesvermessung meist verwendeten Ellipsoide beruhen zu einem großen Teil auf Ellipsoidbestimmungen nach dieser Methode, die Ende des 19. /Anfang des 20. Jahrhunderts durchgeführt wurden. Es wird damit auch verständlich, daß in verschiedenen Teilen der Erde verschiedene Ellipsoide Verwendung finden.
• Die gravimetrische Methode:
  Aus Schweremessungen auf der gesamten Erde wird die Geoidform so bestimmt, daß die Schwereanomalien minimiert werden. Das Ergebnis ist stets ein mittleres Erdellipsoid, dessen Mittelpunkt mit dem Schwerpunkt der Erde zusammenfällt.

• Die geometrische Methode:
  Der Satellit dient als hochfliegender Meßpunkt, der gleichzeitig von mehreren Meßpunkten aus aungezielt wird. Dadurch können Meßreihen über Ozeane hinweg miteinander verbunden werden.
• Die dynamische Methode:
  Der Satellit dient als Sensor in Schwerefeld der Erde. Aus Abweichungen seiner tatsächlichen Flugbahn von der vorherberechneten wird auf das Gravitationsfeld der Erde geschlossen.

1. Festlegung der Parameter des Referenzellipsoids und der Bedeutung der Koordinaten als ellipsoidische Breite und Länge. Die Ellipsoidparameter werden aus (astronomischen) Beobachtungen berechnet.
2. Lagerung des Ellipsoids.
   Zentralpunktmethode: Durch Festlegung der Koordinatenwerte eines ausgezeichneten Punktes (Lagerungspunkt), indem für diesen Punkt astronomische Koordinaten bestimmt und evt. mit einer Höhenfestlegung / Höhenfeststellung versehen als ellipsoidische Koordinaten dieses Punktes definiert werden. Somit bleiben von den oben genannten Freiheitsgraden nur noch die Drehungen um den Lagerungspunkt mit beliebiger Drehachse, die die ellipsoidischen Koordinaten des Lagerungspunktes nicht verändern.
   Diese werden in zwei Schritten eingeschänkt:
   im ersten Schritt wird die Normalenrichtung auf die Niveaufläche im Lagerungspunkt festgelegt. Dies wird meist die negative Lotrichtung sein, jedoch sind hier auch abweichende Festlegungen möglich, bei denen sich negative Lotrichtung und Normalenrichtung unterscheiden. Damit sind nur noch Drehungen des Ellipsoids um den Lagerungspunkt mit der Normalenrichtung als Drehachse möglich, wenn dabei die ellipsoidischen Koordinaten des Lagerungspunktes gleich bleiben sollen.
   Durch Festlegung eines Azimuts eines zweiten Punktes aus astronomischen Beobachtungen und Übernahme dieses Wertes als ellipsoidischer Azimut für diesen Punkt.
   Mehrpunktmethode: Zunächst erfolgt eine vorläufige Datumsfestsetzung nach der Zentralpunktmethode. Anschließend wird in ausgewählten Netzpunkten die Abweichung des Lotes von der durch das Ellipsoid definierten theoretischen Richtung gemessen. Auf Grund der Ergebnisse wird die Lagerung des Ellipsoids so korrigiert, daß die Lotabweichungen in diesen Punkten minimiert wird.
   Beide Methoden führen zu nichtgeozentrischen Lagerungen des Ellipsoids.