Geographische Koordinaten

Definitionen:

Im folgenden wird unterstellt, daß die Gestalt der Erde durch ein Rotationsellipsoid beschrieben wird. Die Rotationsachse schneidet das Ellipsoid in zwei Punkten, die als Nordpol und Südpol bezeichnet werden.

Die Frage, wie ein solches Referenzellipsoid gefunden wird, muß hier noch zurückgestellt werden.

Geographische Länge
Jede auf dem Ellipsoid liegende Halbellipse mit der kleinen Halbachse Nordpol-Südpol bildet einen Meridian. Ein Element dieser Schar der Meridiane wird als Nullmeridian ausgezeichnet. Ein beliebiger Meridian wird durch den Winkel zwischen ihm und dem Nullmeridian beschrieben. Dieser Winkel ist als Winkel zwischen den zugehöhrigen Tangenten in den Schnittpunkten erklärt. Dieser Winkel ist positiv zu nehmen, wenn der Übergang von der Tangente an den Nullmeridian zur Tangente an den betrachteten Meridian bei Betrachtung des Nordpols des Ellipsoids von außen in mathematisch positiver Richtung erfolgt, andern falls negativ. Die Maßzahl des Winkels beschreibt die geographische Länge. Bei östlicher Länge ist der Winkel positiv, bei westlicher negativ.

Geographische Breite
Im folgenden werde der Spezialfall betrachtet, daß das Ellipsoid eine Kugel sei.
Die Definition der Meridiane ist hier ein Spezialfall der obigen.

Eine zweite Kurvenschar auf dem Kugel wird mittels einer Schar von Kreiskegelmänteln mit der Spitze im Kugelmittelpunkt erzeugt. Die Kegelachse enthalte die Strecke Kugelmittelpunkt - Nordpol. Diese Kegelmäntel schneiden aus der Kugelfläche Kreise aus. Auf jedem dieser Kreise liegen die Orte gleicher Breite. Die Breite wird durch den Komplementärwinkel des halben Kegelöffnungswinkels angegeben. Ist diese Angabe positiv, spricht man von nördlicher Breite, ist sie negativ, von südlicher Breite. Der Kreis mit der Breite Null heißt Äquator. Sein Radius ist gleich dem Kugelradius.

Offensichtlich ist die Breite eines Punktes P auf einer Kugel gleich dem Winkel zwischen (äußerer) Kugelnormalen n in P und der Nordrichtung N , die durch den Süd - Norddurchlauf durch die Achse gegeben wird. Die Normalenrichtung der Kugel entspricht bei homogener Massenverteilung in der Kugel bis auf das Vorzeichen der durch die Gravitation bedingten Lotrichtung, welche durch den Kugelmittelpunkt verläuft. Diese Richtung ist auch in der Praxis verfügbar, indem die Stehachse eines Theodolithen mit Hilfe von Libellen in Richtung Erdanziehungskraft gestellt wird.

Breite auf dem Ellipsoid

Die geographische Breite eines Punktes P auf einem Ellipsoid wird definiert durch dem Winkel zwischen (äußerer) Ellipsoidnormalen n in P und der Nordrichtung N , die durch den Süd - Norddurchlauf durch die Achse gegeben wird.

Durch die Kegelschar, die wie oben beschrieben gebildet wird, wird auf dem Ellipsoid die geozentrische Breite definiert.
Mit Ausnahme der Pole und des Äquators, wo Gleichheit eintritt, ist die geographische Breite größer als die geozentrische Breite (dem Betrage nach). Die Umrechnung erfordert die Kenntnis der Abplattung.

Dabei gelten folgende Zusammenhänge:
tan bz = (1-f)2 tan bg	bg ... geographische Breite
	bz ... geozentrische Breite
	f ... Abplattung

Die Differenz der beiden Breiten kann in eine alternierende Reihe entwickelt werden:

wobei m = [1 - (b/a)²] / [1 + (b/a)²]
( a ... große Halbachse, b ... kleine Halbachse des zu Grunde liegenden Referenzellipsoids)
Offensichtlich hat die Differenz bei einer geograpfischen Breite von 45° ein Maximum.

Aus der Kenntnis der (geographischen) Breite eines Beobachtungsortes B auf der Oberfläche des Referenzellipsoids kann mittels der geozentrischen Breite auf den Abstand des Punktes B vom Mittelpunkt des Ellipsoids geschlossen werden:

Messung

Hätte die Erde einen idealen Polarstern, dh. einen Fixstern, der genau auf der Verlängerung der Erdachse auf der unendlich großen Himmelskugel wäre, könnte die Breite einfach als Höhe dieses Sterns über dem Horizont bestimmt werden. (Im Bild für eine kugelformige Erde dargestellt.)
Mit Hilfe eines beliebigen zirkumpolaren Sterns läßt sich die geographische Breite eines Beobachtungsortes jedoch als arithmetisches Mittel der Höhen des Sterns im oberen und im unteren Kulminationspunkt bestimmen.

Abhängigkeit von der Bezugsfläche

Offensichtlich hängen die geographischen Koordinaten und die Höhe bei ellipsoidalen Bezugskörpern von der Wahl des Körpers ab. Bild rechts: Sei P ein Punkt auf der Oberfläche des Erdkörpers, in dem zwei Refenzellipsoide e1 und e2 gelagert wurden. Deutlich sichtbar unterscheidet sich die Breite, die mit Bezug auf das Ellipsiod e1 bestimmt wird, von der bei Verwendung des Ellipsoids e2 als Referenz ermittelten. Auch die Lotlängen (Höhen) sind deutlich unterschiedlich.

Zu beachten ist ferner, daß die Normalenrichtung bei praktischen Messungen durch die Lotrichtung bestimmt wird und somit inhomogene Dichteverteilungen im Erdinnern als auch nahegelegene Bergmassive diese Richtung bestimmen. Details siehe [Bauer, 19997].

Folgerungen:

• Werden Daten, die auf einen Refenzkörper bezogen sind, in einem anderen System interpretiert, kann das zu Lagefehlern in drei Dimensionen bis zu einem Kilometer führen. Im rechten Bild werden die Koordinaten eines Punktes P auf der Erdoberfläche hinsichtlich des Systems 1 gemessen und dann fälschlich im System 2 interpretiert. (Beachten Sie, daß Breite und Höhe -die Länge läßt sich in der Zeichnung nicht erkennen - in ihrer Größe nicht verändert wurden.) Der dazu gehörige Punkt P* liegt offensichtlich hier nicht auf der Erdoberfläche. Eine graphische Darstellung der Lagefehler in der Ebene für einen Beispielpunkt gibt P.Dana.

• Es müssen Formeln zur Umrechnung bereitgestellt werden.