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Azimutale Abbildungen, Zylinderabbildungen und Kegelabbildungen

Die drei genannten Abbildungsklassen bilden in jedem Falle eine Kugel in eine Ebene ab. Wegen der besseren Anschaulichkeit führt man bei den beiden letztgenannten eine Kegel(mantel)fläche bzw eine Zylinder(mantel)fläche als Hilfsfläche ein. Dies wird nach der Projektion durch Abwickeln verzerrungsfrei verebnet.

Azimutale Abbildungen

Eine azimutale Abbildung läßt sich als eine direkteAbbildung der Kugel in eine Tangentialebene an die Kugel veranschaulichen. Der Berührungspunkt der Tangetialebene ist Hauptpunkt.
Die Abbildungsgleichungen lassen sich leicht aus der Skizze ableiten, wenn man folgende Unterstellungen macht: Die Einheitskugel sei mit einem Kugelkoordinatensystem mit den Koordinaten Länge l und Breite b, beide im Gradmaß gemessen, versehen. Im Nordpol N (mit der Breite =/2) berührt die Kugel eine Ebene mit einen Polarkoordinatensystem ( Polarwinkel , Radius r), dessen Ursprung im Berührungspunkt liegt. Ferner liege der Halbebene H, in der der Nullmeridian der Kugelkoodinaten liegt und die von der Gerade, die N mit S verbindet, berandet wird, auch der vom Ursprung ausgehende Strahl mit dem Polarwinkel 0° in .
P Punkt auf der Erdoberfläche
P' Bild dieses Punktes
f Funktion zu r
Z Streckungszentrum
XY Äquator
NS Erdachse
Bildtafel
K Erdkugel
Breite
M Mittelpunkt
Die Transformationsformeln haben die Struktur:
y=f()

Der Hauptpunkt

Der Hauptpunkt einer Abbildung ist ein ausgezeichneter Punkt auf der Kugelfläche und Ursprung des azimutalen Koordinatensystems auf der Kugel, auf welches sich die Transformationsformeln beziehen. Es ist zu beachten, daß der Begriff "Hauptpunkt" hier in einer anderen Bedeutung als bei den Zentralprojektionen der darstellenden Geometrie benutzt wird.

Kegelabbildungen

Als Hilfsfläche wird ein Kreiskegelmantel mit geeignetem Öffungswinkel eingeführt, der Hauptpunkt ist der Durchstoßpunkt der Kegelachse durch die Kugel(fläche), der der Kegelspitze am nächsten liegt. Der Kegel berührt die Kugel in einem Kleinkreis, der in dem zu dieser Abbildung gehöhrigen azimutalen Koordinatensystem der Kugel durch d = const. beschrieben wird. In der Praxis wird die Abbildung durch Festlegung des Hauptpunktes auf der Kugel und des Abstandes auf der Kugel d des Berührungskreises des Kegels vom Hauptpunkt definiert.
P Punkt auf der Erdoberfläche
P' Bild dieses Punktes
f Funktion zu y
Z Streckungszentrum
XY Äquator
NS Erdachse
Bildtafel
K Erdkugel
Breite
Die Transformationsformeln haben die Struktur:
y=f()

Loxodrome

Eine Loxodrome ist eine Linie auf der Kugel, die in jedem ihrer Punkte den zugehörigem Meridian unter gleichem Winkel schneidet. Sie stellt bei Navigation mit dem Kompaß eine leicht zu haltende Kurslinie dar (konstanter Winkel zur Nordrichtung). Sie ist i.A. nicht identisch mit einem Großkreis. Der Kurswinkel von 90 Grad führt zu Äquator und Breitenkreisen, 0 Grad zum Meridian, alle anderen Winkel zu Spiralen, die sich asymptodisch einem der Pole nähern.

konforme Abbildung

Zylinderabbildungen

Als Hilfsfläche wird ein Zylinder eingeführt, dessen Radius gleich dem Kugelradius ist. Der Mittelpunkt der Kugel liegt auf der Zylinderachse. Der Zylinder berührt die Kugel folglich in einem Großkreis. Als Hauptpunkt wird einer der Durchstoßpunkte der Zylinderachse durch die Kugel(fläche) festgelegt bzw. wird durch die Wahl eines Punktes der Kugel zum Hauptpunkt die Zylinderachse festgelegt, da sie p.d. durch den Hauptpunkt verläuft.

P Punkt auf der Erdoberfläche
P' Bild dieses Punktes
f Funktion zu y
Z Streckungszentrum
XY Äquator
NS Erdachse
Bildtafel
K Erdkugel
Breite
Die Transformationsformeln haben die Struktur:
y=f()
x=

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Hinweise zu dieser Seite an D. Sosna . 25.07.1999.